Salut,

j'ai trouvé ce problème dans un bouquin ("problem solving stragegy" de Engel) sans solution, ça à l'air tout con mais je ne vois pas de preuve simple :

Dans un carré se trouvent deux carrés qui ne se croisent pas. Montrer que la somme de leur côté ne peut pas dépasser celui du contenant.

Des idées?

"Comme ils ne se croisent pas et qu'ils faut qu'ils soient disposés ainsi pour être le plus grand possible,"

Comment tu prouves ça? Ca ne me semble pas évident du tout!

Si je comprends bien, les carrés ne se croisent pas, mais en plus de ça aucun des deux carrés ne peut être à l'intérieur de l'autre ?

Oui les deux carrés ne se croisent pas et ne sont pas imbriqués, sinon c'est trivialement faux

Ce que tu conjectures c'est ce qu'on veut prouver!

"B et C n'ont pas d'intersection: donc x+y<=z"

C'est ce qu'on veut prouver donc on peut pas l'affirmer comme ça.

ah oui désolé ma démonstration est incomplète mais ça me semble tellement évident

"Je sais pas mais si x>1-y, les deux carrés vont nécessairement se croiser."

Pourquoi? On tourne un peu en rond en disant que c'est évident ou nécessairement vrai...

Je suis d'accord avec vous que ça paraît évident mais je n'arrive pas à le montrer proprement.

C'est un problème énoncé par Erdös donc je ne pense pas que ce soit si évident que ça vu l'auteur...

Up, j'ai posé le problème à un prof aujourd'hui, j'attends sa réponse.

J'ai fait tout un blabla inutile mais je l'ai supprimé car ça n'apportait rien.
Je peux le reposter si vous voulez.

Bon je reposte pour que vous me disiez exactement pourquoi c'est de la merde ce que je dis.

On note le carré ABDC et on se place dans le repère (A;B;C).
On note x le côté du 1er carré et on désigne par le couple (a;b) les coordonnées du sommet en bas à gauche du 1er carré. Avec a et b et x appartenant à [0;1]

L'ensemble des points contenus par le carré on donc pour coordonnées [a+k;b+k] avec k variant de 0 à x.

Le sommet en bas à gauche du 2ème carré (de côté y) a pour coordonnées [c;d] donc l'ensemble des points contenus dans le carré ont pour coordonnées [c+l;d+l] avec l variant de 0 à y.

Déjà il faut que a+x<=1 de même pour b+x, c+y et d+y.
Ensuite on regarde pour quelles valeurs de a,b, c et d on a une intersection nulle lorsque x et y sont fixés.

[a;a+k]inter[c;c+l]=∅ lorsque a+k<c donc comme k varie de 0 à x, a+x<c, l'écart est maximum lorsque a et c sont les plus éloignés donc quand a=0 et c=1
On tient le même raisonnement pour b et d.

On a donc au final la meilleure optimisation lorsque a=0, b=0, c=1 et d=1

Ensuite lorsque les coordonnées sont fixées: une condition sur les longueurs.
Il faut toujours que [a;a+k]inter[c;c+l]=∅ donc comme on a vu que la meilleure optimisation était pour a=0, b=0, c=1 et d=1, on a: [0;x]inter[1-y;1]=∅ On a donc bien x<=1-y

Le plus dur c'est de prendre en compte l'orientation des carrés non ? Rien ne suppose que les côtés des carrés soient "parallèles"

Une réponse élégante au problème :
http://math.stackexchange.com/questions/244474/two-squares-in-a-box

Et pour info Vistiche le problème dans ton raisonnement c'est que tu supposes que les carrés sont placés "droits" comme l'a dit 111010001100111 (et en effet c'est le placement optimal si tu veux maximiser la somme des côtés, mais c'est justement ça qui est difficile à prouver !)

Morphisme

effectivement à partir du lemme du triangle de ton lien c'est presque immédiat mais il fallait avoir l'idée de tracer la droite qui sépare les deux carrés...

Bon et maintenant, quid pour 3 carrés dans un carré?

Ah oui ok je vois pourquoi ce que je dis est inutile maintenant.

Bah pour 3 carrés, il est facile de trouver un cas où la somme de leurs côtés est supérieure à celle du grand carré.:(