Salut à tous,

ce résultat est-il vrai : Pour tout nombre complexe z tel que |z| = 1, il existe une suite d'entiers croissante u telle que la suite z^u converge vers 1?

Je voudrais utiliser ce résultat pour résoudre le problème suivant :
"Soient z(1), ...., z(k) des complexes de module 1, prouver qu'il existe une suite d'entiers croissante u telle que la suite [z(k)]^u+....[z(k)]^u converge vers k"

Pour ma question initiale je ne sais pas si c'est vrai pour tout complexe de module 1, je pense que oui par "densité" car on peut prouver facilement que c'est vrai au moins quand l'argument de z est "rationnel par rapport à pi" (c'est-à-dire que arg(z)/pi est rationnel, je ne sais pas si ça porte un nom particulier). Du coup je pense que si l'argument est irrationnel par rapport à pi on devrait l'encadrer par deux rationnels par rapport à pi et se débrouiller avec ça mais je n'arrive pas à écrire proprement les choses.

je comprends même pas c'est quoi l'indice de la suite

Ok merci! Je vais essayer avec cette piste je vous tiens au courant.

Help j'arrive à rien.

En fait je suis pas sûr que mon lemme soit vrai et surtout je crois que même s'il est vrai il ne sert à rien puisqu'il faut que ce soit la même suite pour chaque z(i).

Exemple :
la suite i , i^4, i^8 etc. converge vers 1 (avec i une racine carrée de -1)
la suite j^6, j^12, j^18 etc. converge vers 1 (avec j une racine cubique de -1)

ça nous permet pas de dire qu'il existe une suite u telle que i^u + j^u converge vers 1

Ah ben si je suis bête, on prend la suite u(n) =24n alors la suite i^u + j^u converge vers 1.

Mais ici ça marche parce que les deux suites pour i et j sont arithmétiques. Du coup pour généraliser ce qu'il me faudrait montrer c'est que pour tout complexe z de module 1, il existe une suite arithmétique d'entiers croissante telle que (z^cette suite) converge vers 1 et après pour la somme des (zi) je prends comme suite de puissances la suite arithmétique de raison le ppcm des raisons.

Arithmétique, certainement pas pour tous les complexes. Dans ta dynamique sur le cercle, si ton angle de départ est incommensurable à pi (au pif, sqrt(2)), tu vas certes passer pas trop loin de 1 avec une bonne suite arithmétique, mais ensuite de petits écarts dus aux erreurs d'arrondi (quand t'as approximé sqrt(2) par un rationnel*pi) vont s'amplifier et ta suite va faire le tour du cercle, rien à foutre.

Un truc à faire serait d'éliminer d'un coup tous les angles commensurables à pi par une grosse suite arithmétique (aka ceux qui correspondent à des racines de l'unité, en fait).

Mais à part ça ton lemme est vrai hein, c'est de la classification des sous-groupes de R comme l'a dit Point.

Ah oui effectivement c'est pas possible qu'il existe une suite arithmétique pour tout complexe.

bluepoint_ je reformule mon énoncé original en plus clair :

Les (zi) sont k complexes du cercle unité. Il faut prouver qu'il existe une suite (un) telle que la somme des (zi)^(un) converge vers k lorsque n tend vers +oo.

C-a-d :
z1^u0 + z2^u0 + .... + zk^u0
z1^u1 + z2^u1 + .... + z_k^u1
etc...

cette suite doit tendre vers k.

pour ça j'aimerais donc prouver qu'on peut faire tendre chaque terme "simultanément" vers 1. Avec mon lemme on prouve qu'on peut faire tendre chacun vers 1 "indépendamment" seulement.

(la suite (un) doit être une suite d'entiers strictement croissante)

T'es en quelle classe?

Non il n'y a pas d'indices avec la question.

Je suis en L3

En ayant prouvé que chaque zi possède une suite croissante de puissances qui converge vers 1, cela implique que la matrice diagonale dont les entrées sont les zi possède une suite de puissances qui converge vers la matrice identité. (Ca demande un peu de détail mais je te laisse faire). Il reste plus qu'à "passer à la trace" qui est continue donc respecte la limite.

Je pense cependant qu'on peut se passer de cette "artillerie lourde" et essayer de faire marcher vos histoires de convergence simultanée. Vous avez réglé le cas où les zi sont tous d'argument commensurable à pi, on devrait pouvoir faire de même dans le cas d'incommensurabilité en approchant correctement nos irrationnels par des rationnels bien choisis. La suite dans un prochain épisode.

Le prochain épisode maintenant parce qu'effectivement ce n'est pas très difficile :

Notons ti = = arg(zi)/(2pi)) ( la proportion de tour nécessaire pour atteindre le complexe zi sur le cercle en partant de 1 ) .

Si tous les zi ont un ti rationnel, alors on prend le ppcm des dénominateurs de leurs forme irréductible et la suite ayant ce ppcm pour raison fonctionne, ça vous l'avez déjà fait.

Dans le cas général, pour tout n on va pouvoir trouver une fraction de la forme F(n) = p/u(n) ( où p ne dépend que de ti et (u(n))n€N une suite d'entiers croissante) de telle sorte que chaque ti soit à une distance inférieure à 1/n de F(n). (Application du principe des tiroirs, à détailler si on ne considère pas cette approximation diophantienne comme connue)

Exemple :
t1 va être assez proche de 3/5, d'autant plus de 3/9, encore plus de 3/20 etc.
t2 va être assez proche de 4/5, d'autant plus de 4/9, encore plus de 4/20 etc.

La suite u(n) des dénominateurs répond au problème.

Non effectivement il manque un argument de poids pour la première preuve qui est que la matrice diagonale ainsi formée a nécessairement au moins une suite de puissances convergente (et ce que vous avez fait implique alors que cette suite converge vers l'identité). Il suffit de prouver que l'espace des matrices diagonales dont les éléments sont de module 1 est un compact, mais ça complique encore la preuve... Finalement autant se rabattre sur la preuve à la main.

Pour cette dernière, je détaillerai plus demain, il y a pleins d'erreurs dans mon post et mon exemple est bidon.

L'approximation diophantienne utilisée est la suivante (mais je ne me rappelle plus du nom et incapable de la retrouver sous google donc si vous parvenez pas à trouver une preuve seuls il faudra attendre demain pour que je poste celle que j'ai en tête utilisant le principe des tiroirs ) :

Soient t1,...,tk des réels, un au moins étant irrationnel. Alors pour tout e > 0, il existe des entiers q, p1, ..., pk tels que |ti - pi/q| < e/q pour chaque ti.

On l'applique à e = 1/n pour avoir ce qu'on veut.

A demain pour plus de détails si besoin.

Et est-ce que tu peux extraire de U-n+1)-U(n) une sous-suite strictement croissante ? Pas facile ce petit exo en fait.

Si la suite M^n admet une sous-suite convergente, il n'est pas trop difficile de voir qu'on peut choisir cette sous-suite u(n) de sorte que u(n+1) - u(n) > n.

A ce moment là, tout s'arrange pour nous.

Sinon je ne comprends pas ce qui pose problème avec la preuve par approximation.

L'approximation se fait sur les arguments des complexes et non sur les complexes eux même. Il n'est alors pas question d'exponentiation.