Je bute actuellement sur un exercice sur les bornes inférieurs. (niveau mpsi)

On pose l'ensemble A = {p + m/p, p € N*} ("€" veut dire appartient à)

-On doit montrer que cet ensemble admet une borne inférieure égale à inf({p + m/p, p € [1,m]})
-Puis montrer que Inf(A) est supérieur ou égal à racine(4*m), et dire dans quel cas il y a égalité.

Si quelqu'un a une idée, merci

m c'est un entier naturel fixé ?

Ah, j'avais oublié, c'est marqué pour tout entier naturel non nul m, on pose A=...

Pour l'existence de inf A : partie minorée de R.

Pour montrer que inf A = inf {p + m/p, p € [1,m]} = inf B, il suffit de montrer que pour p>m et pour 1 <= k <= m, p + m/p > k + m/k (je te laisse réfléchir pourquoi en utilisant la définition de l'inf).

Pour la seconde question, étudie la fonction x-> x + m/x définie sur [1,m].

Non oublie ma 2ème phrase, c'est faux.

Il suffit de montrer que pour tout p > m, p + m/p > inf B.

Je suis sûr du tout de ce que je fais, mais...

pour 1<k<m, on a bien k+m/k > inf(B)
Faudrait que je prouve alors que pour p>m, on a p+m/p > k+m/k, non ?

je te conseille de voir ce que tu peux faire de la fonction x->x+m/x, tu devrais pouvoir montrer que cette fonction atteint un minimum absolu avant m

Non, justement, que p + m/p >= inf B.

On a, pour p > m, p + m/p >= m+1.
Or m+1 appartient à B (avec k = 1 ou m). Donc m+1 >= inf B.
D'où, pour tout p > m, p + m/p >= inf B.
Ce qui montre que inf A >= inf B. L'autre inégalité est claire, puisque B inclus dans A.

Oki, merci beaucoup