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EtatVoyou
- Posté le
8 novembre 2009 à 19:57:55
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Je ne saisis pas bien la différence entre la différentielle et la dérivée d'une fonction
Je sais bien c'est quoi une dérivée, la pente de la tangente en un point, la mesure de la variation de y quand x varie.
Mais pour la différentiabilité, je ne vois pas la différence que ce soit à une ou plusieurs variables 
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Tidus1188
- Posté le
8 novembre 2009 à 20:22:02
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La différentielle est égale à la dérivée lorsque tu te trouves avec une seule variable. Donc aucune différence si tu te trouves à une variable.
Si je te pose df, on appelle df différentielle si cette dernière s'exprime comme une combinaison linéaire de ses dérivée partielles.
df(x,y) = (df/dx).dx + (df/dy).dy
Sinon à une variable c'est la dérivée.
df(x) = (df/dx).dx
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Tidus1188
- Posté le
8 novembre 2009 à 20:23:07
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Les df/dx et df/dy sont des d ronds.
Sauf pour le dernier df/dx qui peut être mis en d droit puisque c'est pareil.
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EtatVoyou
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:03:21
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Donc si je te suis bien, la différentiabilité = notion de dérivée à plusieurs variables.
La somme des dérivées partielles = la différentielle
C'est pas pareil que le vecteur gradient
Merci pour ton aide.
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Tidus1188
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:22:47
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Exactement on utilise différentielle lorsque l'on se trouve à plusieurs variables.
Non pas pareil. 
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Tidus1188
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:27:01
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Pas pareil parce que le gradient de ta fonction c'est un vecteur dont les composantes sont les accroissements infinitésimaux de chaque variable.
Par contre ! Si tu fais le scalaire de grad(f) avec dr, là c'est pareil.
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EtatVoyou
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:28:58
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Alors, c'est quoi le vecteur gradient
Si je te donne y = x²,
la différentielle = 2x donc.
Et si je te donne, z = 2x² + 4y
La différentielle = 4x + 4
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Prauron
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:31:32
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dz = 4xdx + 4dy
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Tidus1188
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:34:48
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Le gradient de f c'est un vecteur de composantes : (df/dx , df/dy, df/dz). Soit Nabla.f.
Le gradient tu l'utilises pour déterminer les coordonnées des points critiques qui se trouvent à l'annulation de celui-ci.
Sinon pour tes exemple, nan c'est faux.
Pour le premier : 2x.dx
Pour le second : 4x.dx + 4.dy
C'est une différentielle pas une dérivée totale !
La dérivée dite totale par rapport à une variable c'est : df/dx ou df/dy.
En gros pour l'exemple 1 par exemple ça fait : df/dx = 2x
Et l'exemple 2 : df/dx = 4x + 4.(dy/dx) et df/dy = 4x.(dx/dy) + 4
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EtatVoyou
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:38:25
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Je comprends toujours pas la notion de différentielle, graphiquement peut-être ça va mieux m'aider algébriquement.
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Tidus1188
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:39:03
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Et pour la nature des points critiques, tu détermines les valeurs propres de la matrice Hessienne.
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Prauron
- Posté le
8 novembre 2009 à 21:43:01
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La différentiabilité est la généralisation de la dérivabilité pour les fonctions de plusieurs variables.
Quand tu as f, fonction d'une variable (à valeurs dans R) dérivable en a tu peux écrire :
f(a+h) = f(a) + f'(a)h + o(h)
Maintenant si f est une fonction de plusieurs variables à valeurs dans R différentiable en A (A appartient à R^n par exemple) tu peux écrire :
f(A+H) = f(A) + df(A)(H) + o(||H||)
df(A) est la différentielle de f en A et c'est une forme linéaire (c'est à dire une application linéaire à valeurs dans R)
On voit que c'est une généralisation puisque quand tu as une seule variable, la différentielle en a est simplement l'application qui à h associe f'(a)h.
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Sujet : « Notions de différentiabilité »
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