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Korpenko
- Posté le
3 juillet 2009 à 19:49:00
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Salut.
J'aimerais placer de l'argent de manière régulière, à 4%, en plus d'un apport de départ.
Prenons des chiffres au hasard :
Je fous 570€ au premier janvier de l'année n=0.
Je fous 100€ par an, à la fin de l'année, de manière à en avoir les intérêts l'année suivante.
Voici ce que j'ai trouvé comme formule :
somme sur le compte à l'année 2 = Uo x q² + 100 x q + 100
Ce qui pose un gros problème c'est que chaque année un rajoute un terme, et on rajoute une puissance aux termes précédents.
Ceci afin de pouvoir mettre en équation et dire à la fin de quelle année j'aurais tant de thune.
Si je veux ensuite appliquer un taux d'intérêts décroissant de 0.1% chaque année, je fais comment ?
Merci de votre aide.
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mcn92
- Posté le
3 juillet 2009 à 22:24:13
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Un= Uo + 100n + (4xUn-1\100)
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pourquoipasgne
- Posté le
3 juillet 2009 à 23:56:52
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Cette suite n'est alors ni géométrique ni arithmétique !
Comment on en fait la somme ?
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[_The_Ouf_]
- Posté le
4 juillet 2009 à 01:47:39
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On note qn le taux d'intérêt de l'année n.
On a:
U1 = q1 x U0
U2 = q2 x (U1 + 100)
U2 = q1q2 x U0 + 100q2
U3 = q3 x (U2 + 100)
U3 = q3 x (q1q2 x U0 + 100q2 + 100)
U3 = q1q2q3 x U0 + 100q3(1 + q2)
U4 = q4 x (q1q2q3 x U0 + 100q3(1 + q2) + 100)
U4 = q1q2q3q4 x U0 + 100q4(1 + q3(1 + q2))
On peut donc montrer par récurrence que pour tout n >= 3, on a:
Un = q1...qn x U0 + 100qn(1 + qn-1(1 + ... (1 + q2)...))
* Pour n = 3 on le voit de façon évidente.
* Soit Un = q1...qn x U0 + 100qn(1 + qn-1(1 + ... (1 + q2)...)).
On a:
Un+1 = qn+1 x (Un + 100)
Un+1 = qn+1 x (q1...qn x U0 + 100qn(1 + qn-1(1 + ... (1 + q2)...)) + 100)
Un+1 = qn+1 x (q1...qn x U0 + 100(1 + qn(1 + qn-1(1 + ... (1 + q2)...)))
Un+1 = q1...qnqn+1 x U0 + 100qn+1(1 + qn(1 + qn-1(1 + ... (1 + q2)...))
La propriété est donc valable pour tout n supérieur à 3.
On a, en développant:
qn(1 + qn-1(1 + qn-2(1 + ...(1 + q2)...))) = qn + qn x qn-1 + qn x qn-1 x qn-2 + ... + qn x ... x q2
Or:
qn = qn
qn x qn-1 = Produit(qn-i, i=0 à 1)
qn x qn-1 x qn-2 = Produit(qn-i, i=0 à 2)
...
qn x ... x q2 = Produit(qn-i, i=0 à n-2)
Ainsi, on a pour tout n >= 3:
Un = U0 x Produit(qi, i=1 à n) + Somme( Produit(qi, i = 1 à k), k = 1 à n-2 ).
Dans le cas présent, le taux d'intérêt décroît de 0.1% chaque année.
Donc qn+1 = 0.99 x qn
Donc la suite (qn) est une suite géométrique de raison 0.99.
Donc pour tout n, on a:
qn = q0 x (0.99)^n
qn = 1,04 x (0.99)^n
Donc:
Produit(qi, i=1 à n) = Produit(1,04 x (0.99)^i, i=1 à n)
= 1,04^n x Produit(0.99^i, i=1 à n)
= 1,04^n x 0.99^(Somme(i, i=1 à n))
= 1,04^n x 0.99^( n(n+1)/2 )
On a donc:
Un = U0 x 1,04^n x 0.99^( n(n+1)/2 ) + Somme(1,04^k x 0.99^( k(k+1)/2 ), k=1 à n-2).
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Sujet : « Placement financier, suites, sommes... »
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